1) Numa PA com 2n+1 termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13. Calcule seu último termo. [resoolve aee amour] (><'

Seja a1 o primeiro termo dessa progressão e r a razão

Para se ter a soma dos n primerios termos precisamos de a1 e a(n)
Para se ter a soma dos n últimos precisamos de a(n+2) e a(2n+1)

Veja o esquema:

N termos (1a. progressão) + 1 + N termos (2.a progressão) = 2N + 1 termos

Ou seja o primeiro termo da segunda progressão é o de ordem n+2!

Vamos calcular esses termos,
a1=a
a(n) = a+ (n-1)r
a(n+2)= a + (n+2 –1) r = a + (n+1)r
a(2n+1) = a + (2n+1 –1 ) r = a + 2nr    
    
    A soma dos termos de uma pa é a semi-soma do primeiro com o ultimo multiplicada pelo numero de termos ou seja:

1a. pa Soma = (a1 + a(n))n/2 = (a+ a +(n-1)r)n/2 = 50 ou

2a +nr-r =100/n equação 1

2a.pa Soma = (a(n+2) + a(2n+1))n/2 = (a+(n+2-1)r + a +

(2n+1 - 1)r)n/2 = 140 = (2a nr + r + 2nr) n/2 = (2a + 3nr+r) n /2= 140 ou

2a +3nr + r = 280/n equação 2

2nr + r + r = 280/n -100/n ou

r(2n+2) =180/n ou

r(n+1)=90/n ou podemos escrever:

(n+1)n=90/r ou

n^2 + n = 90/r


como não sabemos o valor de r não podemos calcular n. Porem o enunciado diz que r é um inteiro entre 2 e 13. como
n^2 + n deve ser inteiro os "candidatos" a r devem sem um divisor de 90 ou seja so poderá ser:

2, 3, 5, 6, 9 e 10 pois 4 não é divisor de 90 ( a divisão de 90 por 4 não dá inteiro)

vamos então começar a testar os valores de r:

r = 2 a equação fica n^2+n -45 = 0

o delta dessa equação é b2 - 4ac = 1 + 4.x45 = 181 cuja raiz quadrada não é exata e como n tem de ser inteiro esse valor de r não convém aao problema.

para r = 3 a equação fica

n^2+n-30 = 0

delta 1 +120 = 121

raiz quadrada de delta = 11 (inteiro)

as raizes são

n 1 e n 2 = (-1 +/- 11 )/2 ou seja -6 e 5

como -6 não convem ja que n deve ser positivo , então n = 5 e a solução.. Nossa pa terá 2 x 5 + 1 = 11 termos!!!!! ufffaaaaa
pode tentar os demais valores de r e verá que não dará um valor inteiro para n!!!!!

Agora achamos o primeiro termo pois a soma dos 5 primeiro é 50 e a razão é 3
(a1+ a5)5/2= 50

a1 + a5 = 20


a1 + a1 + 4x3 = 20

2a1 = 8

a1 = 4

a11 (o ultimo termo ) fica

a11= a1 +10r

a11= 4 + 10x3= 34

Tomando A Liberdade De Pergar Uma Resolução Pre Escrita Por Ser Uma Questão De Extensa Explicação!!!

By. Italo Nogueira
Para. Gicely Mayara

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